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高考研究831重点课题项目陕西省联盟学校2023年第三次大联考数学试卷答案

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15．若2^a=4，则log_a$\frac{1}{2}$的值是（　　）

分析将四面体P-ABC的侧面沿PA剪开再展开，得五边形PABCA′，可得∠A′PA=$\frac{π}{2}$，求出A、A′的距离等于2$\sqrt{2}$，即为蚂蚁从A点出发回到A点的最短路程．

解答分析：解：解答：将四面体P-ABC的侧面沿PA剪开再展开，得到如图所示五边形，
∵四面体P-ABC中，PA=PB=PC=2，∠APC=∠APB=∠BPC=$\frac{π}{6}$，
∴展开图中∠A′PA=3×$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
连接AA′，得Rt△AA′P中，AA′=$\sqrt{P{A}^{2}+PA{′}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
再将此展开图围成四面体P-ABC的侧面，得到折线AD-DE-EA，
∵AA′=AD+DE+EA，
∴蚂蚁从A点出发，沿AD-DE-EA的路线行走，可得回到A点的最短路程．
因此，蚂蚁从A点出发，回到A点的最短路程为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评本题考查了解三角形和用侧面展开法求多面体表面上的最短距离问题的知识，属于中档题．