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江淮名卷·2023年安徽中考模拟信息卷(六)数学试卷答案

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8．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，化简：$\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{{B}_{1}C}-\overrightarrow{{B}_{1}B}+\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=$\overrightarrow{B{D}_{1}}$．

分析先用柯西不等式得出ab+bc+ac≤$\frac{3}{2}$，再用基本不等式ab+bc+ac≥3$\root{3}{ab•bc•ac}$，得出abc≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

解答证明：根据柯西不等式（n=3）得，
[（1+a²）+（1+b²）+（1+c²）]•（$\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{1+{b}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{1+{c}^{2}}$）≥（a+b+c）²，
即a²+b²+c²+3≥（a+b+c）²，
整理得，ab+bc+ac≤$\frac{3}{2}$，
再由基本不等式：ab+bc+ac≥3$\root{3}{ab•bc•ac}$，
两边立方得，a²b²c²≤$（\frac{ab+bc+ac}{3}）^3$≤$\frac{1}{8}$，
所以，abc≤$\sqrt{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即abc≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，证毕．

点评本题主要考查了运用柯西不等式，基本不等式证明不等式，适当凑配和合理放缩是证明的关键，属于难题．