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衡水金卷先享题压轴卷2023答案 新教材二数学试卷答案

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14．在正项数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²（n∈N^*）
（1）判断数列{a_n}的单调性，并证明你的结论；
（2）求证：对n∈N^*都有：$\frac{1}{3}$≤a_n＜1．

分析直接利用函数的解析式，列出方程求解即可．

解答解：函数f（x）=x²+1，若f（f（x₀））=2，
可得（f（x₀））²+1=2，
可得f（x₀）=±1，
x₀²+1=±1，解得x₀=±1．
故答案为：±1．

点评本题考查函数的零点与方程根的关系，是基础题．