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［惠州一模］惠州市2023届高三年级第一次模拟考试数学试卷答案

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9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右焦点为F，点E（0，1），点P（x，y）是双曲线C的渐近线上一点，O为原点，且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OE}$，则λ=（　　）

分析设直线l的斜率等于k，则当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有一个公共点．再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．

解答解：①设直线l的斜率等于k，
则当k=0时，直线l的方程为y=1，满足直线与抛物线y²=2x仅有一个公共点，
当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为y=kx+k+1，
代入抛物线的方程可得：
k²x²+（2k²+2k-2）x+k²+2k+1=0，
根据判别式等于0，求得k=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$，故切线方程为y=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（x+1）+1．
②当斜率不存在时，直线方程为x=-1，经过检验可得此时直线与抛物线y²=2x不相切．
故所求的直线方程为：y=1，或y=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（x+1）+1．

点评本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．解题中容易漏掉斜率不存在的讨论．