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河北省2022-2023学年第二学期高二年级期中考试(23554B)数学试卷答案

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5．已知圆C₁：x²+y²+2x+2y-2=0与圆C₂：x²+y²-2ax-2by+a²-1=0，若a，b变化时，圆C₂始终平分圆C₁的周长，则圆C₂的面积最小值时的方程为（x+1）²+（y+2）²=5．．

分析求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．

解答解：由y=ax²（a＞0），得y′=2ax，
由y=e^x，得y′=e^x，
曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x存在公共切线，
设公切线与曲线C₁切于点（x₁，ax₁²），与曲线C₂切于点（x₂，e^x₂），
则2ax₁=e^x₂=$\frac{{{e}^{x}}_{2}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
可得2x₂=x₁+2，
∴a=$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$，
记f（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}}{2x}$，
则f′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}（x-2）}{4{x}^{2}}$，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴当x=2时，f（x）_min=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴a的范围是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

点评本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有实数解的条件，是中档题．