山西省2022~2023学年度八年级阶段评估(F)R-PGZX E SHX(六)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

山西省2022~2023学年度八年级阶段评估(F)R-PGZX E SHX(六)数学试卷答案

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18.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是(  )

A.y=9-x2B.y=|x-1|C.y=($\frac{1}{2}$)xD.y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$

分析(1)由于△EGF2的周长为$4\sqrt{2}$,可得4a=4$\sqrt{2}$,解得a.又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,b2=a2-c2,解出即可得出.
(2)易知直线AB的斜率存在,即t≠0.设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),与椭圆方程联立化为(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.利用△>0,及其因为A,B两点都在y轴的右侧,可得x1+x2>0,x1x2>0,解得k的取值范围.利用$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$,及其根与系数的关系可得点P的坐标,代入椭圆C的方程解出即可得出.

解答解:(1)∵△EGF2的周长为$4\sqrt{2}$,∴4a=4$\sqrt{2}$,解得a=$\sqrt{2}$.
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得c=1,∴b2=a2-c2=1.
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.
(2)易知直线AB的斜率存在,即t≠0.设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k(x-2)\\\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$,化为(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
由△=64k2-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得${k^2}<\frac{1}{2}$.
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$,
又因为A,B两点都在y轴的右侧,∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}>0,{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}>0$.
∴${k^2}>\frac{1}{4}$.而${k^2}<\frac{1}{2}$,∴$\frac{1}{4}<{k^2}<\frac{1}{2}$.
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
∴$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{t}=\frac{{8{k^2}}}{{t(1+2{k^2})}}$,$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{t}=\frac{1}{t}[k({x_1}+{x_2})-4k]=\frac{-4k}{{t(1+2{k^2})}}$.
∵点P在椭圆C上,∴$\frac{{{{(8{k^2})}^2}}}{{{{[t(1+2{k^2})]}^2}}}+2\frac{{{{(-4k)}^2}}}{{{{[t(1+2{k^2})]}^2}}}=2$,
∴16k2=t2(1+2k2).
∴${t^2}=\frac{{16{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=8-\frac{8}{{1+2{k^2}}}$,
又$\frac{3}{2}<1+2{k^2}<2$,∴$\frac{8}{3}<{t^2}=8-\frac{8}{{1+2{k^2}}}<4$.
∴$-2<t<-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}或\frac{{2\sqrt{6}}}{3}<t<2$,
∴实数t的取值范围为$(-2,-\frac{{2\sqrt{6}}}{3})∪(\frac{{2\sqrt{6}}}{3},2)$.

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算性质、一元二次方程的判别式及其根与系数的关系、不等式的解法及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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话题:
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