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贵州省2022~2023学年下学期高二期中考试试卷(23-430B)数学试卷答案

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16．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，若双曲线上一点P满足|PF₁|•|PF₂|=55，求点P到焦点的距离．

分析求出函数f（s）=2^s，s∈[-1，2]的值域和g（t）=t²-2kt+$\frac{5}{2}$，t∈[k，2k+1]，的值域，结合对于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，转化为集合包含关系后，可得实数k的取值范围．

解答解：函数f（s）=2^s，s∈[-1，2]的值域为[$\frac{1}{2}$，4]，
函数g（x）=x²-2kx+$\frac{5}{2}$的图象是开口朝上，且以直线x=k为对称轴的抛物线，
故g（t）在[k，2k+1]上为增函数，且k＞-1，
故g（t）=t²-2kt+$\frac{5}{2}$，t∈[k，2k+1]，的值域为[$\frac{5}{2}-{k}^{2}$，2k+$\frac{7}{2}$]，
若对于任意的s∈[-1，2]，都存在t∈[k，2k+1]，使得f（s）=g（t）成立，
则[$\frac{1}{2}$，4]⊆[$\frac{5}{2}-{k}^{2}$，2k+$\frac{7}{2}$]，
解得：k∈$[\sqrt{2}，+∞）$，
故答案为：$[\sqrt{2}，+∞）$．

点评本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，存在性问题，其中将问题转化为值域的包含问题，是解答的关键．