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2023年普通高等学校招生统一考试 新S3·临门押题卷(四)数学试卷答案

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16．函数f（x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）的最小正周期为（　　）

分析①直接取x₁=x₂=0，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
②按照“友谊函数”的定义进行验证；
③由0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即得结论成立．

解答解：①∵f（x）为“友谊函数”，
则取x₁=x₂=0，得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又由f（0）≥0，得f（0）=0，故①正确；
②g（x）=x在[0，1]上满足：（1）g（x）≥0；（2）g（1）=1，
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=（x₁+x₂）-（x₁+x₂）=0，即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），
满足（3）．故g（x）=x满足条件（1）﹑（2）﹑（3），
∴g（x）=x为友谊函数．故②正确；
③∵0≤x₁＜x₂≤1，∴0＜x₂-x₁＜1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），
故有f（x₁）≤f（x₂）．故③正确．
故答案为：①②③．

点评本题考查命题的真假判断与应用，是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题，是中档题．