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皖智教育·省城名校2023年中考最后三模（一）数学试卷答案

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13．已知函数$f（x）=4{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-2\sqrt{3}cos2x-1$，且$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）若条件$p：f（x）=4{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-2\sqrt{3}cos2x-1，\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$；条件q：|f（x）-m|＜2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

分析运用参数分离，依据题意得$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，通过导数，判断单调性，求出函数g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1的最小值，即可求出m的取值范围．

解答解：依据题意得$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-1-4m²（x-1）≤（x-1）²-1+4（m²-1）在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立．
令g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1，g′（x）=$\frac{6}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵x∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
∴g′（x）＞0，g（x）递增，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，函数g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1取得最小值-$\frac{5}{3}$，
所以$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{5}{3}$，
即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．