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山西省运城市2022-2023学年八年级第二学期期中自主测评数学试卷答案

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15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析（1）利用两角和的余弦展开，两边同时乘以ρ后代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（2）化直线的参数方程为普通方程，画出图形，数形结合求得满足条件的实数m的取值范围．

解答解：（1）由ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），得$ρ=4\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）$=4cosθ-4sinθ，
∴ρ²=4ρ（cosθ-sinθ），即x²+y²-4x+4y=0．
化为标准方程：（x-2）²+（y+2）²=8．
∴曲线C是以（2，-2）为圆心，以$2\sqrt{2}$为半径的圆；
（2）化直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$为x-y-m=0．
若曲线C上存在点P到直线l的距离为2$\sqrt{2}$，
由图可知，OA=6$\sqrt{2}$，OB=$2\sqrt{2}$，
∴直线x-y-m=0在y轴上截距的范围为[-12，4]，
即-m∈[-12，4]，
∴m∈[-4，12]．

点评本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．