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2023年普通高等学校招生全国统一考试专家猜题卷(二)数学试卷答案

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13．下列四组函数中，表示相等函数的是（　　）

分析（Ⅰ）化简可得$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+sin（{2x-\frac{π}{6}}）$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，从而确定周期；
（Ⅱ）由$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$可得-$\frac{1}{2}$＜2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{5}{2}$．

解答解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1＜2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，
∴-$\frac{1}{2}$＜2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{5}{2}$，
故函数f（x）的值域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评本题考查了三角函数的恒等变换的应用及函数的性质的判断与应用．