2023届高考北京专家信息卷·仿真模拟卷(六)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023届高考北京专家信息卷·仿真模拟卷(六)数学试卷答案

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13.设P为直线l1:x-2y+4=0与直线l:2x-y-4=0的交点,圆C:x2+y2-4x-4y+7=0,l0为过点P且斜率为k的直线,
(1)若k=$\frac{3}{2}$,l0与圆C交于A,B两点,求|AB|;
(2)k为何值时,l0与圆C相切?设切点分别为M,N,求cos∠MPN.

分析(1)求出线段AB的垂直平分线的方程,与直线x-2y-2=0联立,求得圆心坐标,再求出圆的半径,即可求圆C的标准方程;
(2)C到直线EF,GH的距离相等,设为d,求出d后,进而求出EF=GH,进而得到答案.
(3)求出PQ=4,分类讨论,利用坐标原点O到直线l的距离为$\frac{1}{5}$,即可求直线l的方程

解答解:(1)因为A(2,-2),B(1,1),
所以kAB=$\frac{-2-1}{2-1}$=-3,AB的中点为($\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$),
故线段AB的垂直平分线的方程为y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$(x-$\frac{3}{2}$),即x-3y-3=0,…(2分)
由$\left\{\begin{array}{l}x-3y-3=0\\x-2y-2=0\end{array}\right.$,解得圆心坐标为(0,-1).…(3分)
所以半径r满足r2=12+(-1-1)2=5.…(4分)
故圆C的标准方程为x2+(y+1)2=5.…(5分)
(2)∵EF=GH,
∴C到直线EF,GH的距离相等,设为d     …(6分)
则$\sqrt{2}d$=1,即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…(7分)
∴EF=GH=2$\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{2}$…(8分)
∴四边形EGFH的面积S=$\frac{1}{2}$×$(3\sqrt{2})^{2}$=9…(9分)
(3)设坐标原点O到直线l的距离为h,
因为△POQ的面积S=$\frac{1}{2}×4h$=$\frac{2}{5}$,
∴h=$\frac{1}{5}$.
①当直线l与x轴垂直时,由坐标原点O到直线l的距离为$\frac{1}{5}$知,直线l的方程为x=$\frac{1}{5}$或x=-$\frac{1}{5}$,
经验证,此时PQ≠4,不适合题意;             …(11分)
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+b,
由坐标原点到直线l的距离为h=$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{5}$,得k2+1=25b2  (*),…(12分)
又圆心到直线l的距离为c=$\frac{|1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$,所以PQ=2$\sqrt{5-{c}^{2}}$=4,
即k2+1=(1+b)2    (**),…(13分)
由(*),(**)解得$\left\{\begin{array}{l}k=±\frac{3}{4}\\b=\frac{1}{4}\end{array}\right.$.…(15分)
综上所述,直线l的方程为3x+4y-1=0或3x-4y+1=0.…(16分)

点评本题考查直线和圆的方程的应用,考查点到直线的距离公式,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

2023届高考北京专家信息卷·仿真模拟卷(六)数学
话题:
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