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衡水金卷先享题压轴卷2023答案 湖北专版新高考B二数学试卷答案

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20．已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，线段MN的中点为E，MN⊥AE，求m的取值范围．

分析以AC所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则B在以A为圆心，6为半径的圆上，设B（6cosθ，6sinθ），求出各向量的坐标，由$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0知D是BC的中点，故∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），用坐标解出$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$．

解答解：以AC所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），C（8，0），
∵AB=6，∴B在以A为圆心，6为半径的圆上，设B（6cosθ，6sinθ），（θ≠0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（6cosθ，6sinθ），$\overrightarrow{AC}$=（8，0），$\overrightarrow{BC}$=（8-6cosθ，-6sinθ），
∵$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0，∴D是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=（3cosθ+4，3sinθ），
∴$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=（3cosθ+4）（8-6cosθ）-18sin²θ=32-18cos²θ-18sin²θ=32-18=14．
故答案为：14．

点评本题考查了平面向量的数量积运算，画出符合条件的图形，建立坐标系是关键．