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2023届全国普通高等学校招生统一考试 JY高三冲刺卷(四)数学试卷答案

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18．已知圆C：x²+y²+bx+ay-3=0（a＞0，b＞0）上任意一点关于直线l：x+y+2=0的对称点都在圆C上，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析（1）分别取x=y=0，和y=-x可得f（0）=0，进而可得f（-x）=-f（x），可判f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），结合已知可判f（x₂）-f（x₁）＜0，可得单调性；
（3）先利用恒等式对所给的不等式进行化简，再利用函数的单调性即可解出不等式的解集．

解答解：（1）由题意结合x，y的任意性，
取x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）在R上为减函数；
（3）取x=y=1，可得f（1）+f（1）=f（2）=2f（1）=-$\frac{4}{3}$，
取x=1，y=2可得f（1）+f（2）=f（3）=-$\frac{2}{3}$-$\frac{4}{3}$=-2，
取x=y=3，可得f（6）=f（3）+f（3）=-4，
∵f（2x）+f（x²-2）＜-4，
∴f（2x+x²-2）＜f（6），
∵函数f（x）在R上为减函数，
∴2x+x²-2＞6，
解得x＜-4或x＞2，
∴原不等式的解集为（-∞，-4）∪（2，+∞）．

点评本题考查函数奇偶性与单调性的证明及综合利用此两性质解抽象不等式，考查了推理判断能力及运算能力，综合性较强