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2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷(五)数学试卷答案

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18．计算：
cos$\frac{4}{3}π$-tan$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{3}$tan²$\frac{π}{3}$-sin$\frac{3π}{2}$+cosπ

分析（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的单调性求出它的单调递增区间；
（2）根据方程f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，求出A的值，再根据△ABC的面积以及余弦定理求出a的值．

解答解：（1）由题意得f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；…（3分）
因为x∈[0，$\frac{3π}{2}$]，所以取$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$或$\frac{7π}{6}$≤x≤$\frac{3π}{2}$，
所以函数f（x）在[0，$\frac{3π}{2}$]上的单调递增区间为
[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]； …（5分）
（2）由f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
得-sin（2A+$\frac{π}{6}$）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
化简得cos2A=-$\frac{1}{2}$；…（6分）
又0＜A＜$\frac{π}{2}$，所以A=$\frac{π}{3}$；
由题意知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
解得bc=8；…（8分）
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-2bc（1+cosA）
=49-2×8×（1+$\frac{1}{2}$）
=25；
故所求a的值为5．…（10分）

点评本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．