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江西省2023年学考水平练习（五）数学试卷答案

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16．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{4}$的等比数列，其前n项和S_n中S₃=$\frac{3}{16}$，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|a_n|，T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求T_n．

分析设圆心坐标（b，c），半径R，可得圆的方程，利用△ABP为正三角形，确定3（1-b）²+3c²=4b²，即可得出P的轨迹方程．

解答解：设圆心坐标（b，c），半径R，则圆的方程：（x-b）²+（y-c）²=R²
令y=0，则x=1，代入得：（1-b）²+c²=R²（*）
令x=0，得b²+（y-c）²=R²，解得y₁=c+$\sqrt{{R}^{2}-{b}^{2}}$，y₂=c-$\sqrt{{R}^{2}-{b}^{2}}$，
由题知，AB=R，即|y₁-y₂|=R，
∴2$\sqrt{{R}^{2}-{b}^{2}}$=R，化简得3R²=4b²
将（*）式代入，消去R得：3（1-b）²+3c²=4b²
将b换成x，c换成y，并化简得：（x+3）²-3y²=12
即P的轨迹方程为$\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：A．

点评本题考查P的轨迹，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．