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2023年陕西省普通高中学业水平考试全真模拟(一)数学试卷答案

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19．数列{a_n}与{b_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，a_n•a_n+1-2a_n+1=0（n≥2），a_n•b_n-b_n=1．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

分析先假设函数存在零点x₀，得出方程：$\sqrt{a^2+b^2}$sin（x₀+φ）=2kπ+$\frac{π}{2}$，再根据三角函数的性质得出结果．

解答解：假设函数f（x）存在零点x₀，即f（x₀）=0，
由题意，cos（asinx₀）=sin（bcosx₀），
根据诱导公式得：asinx₀+bcosx₀=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即，$\sqrt{a^2+b^2}$sin（x₀+φ）=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
要使该方程有解，则$\sqrt{a^2+b^2}$≥|2kπ+$\frac{π}{2}$|_min，
即，$\sqrt{a^2+b^2}$≥$\frac{π}{2}$（k=0，取得最小），
所以，a²+b²≥$\frac{π^2}{4}$，
因此，当原函数f（x）没有零点时，a²+b²＜$\frac{π^2}{4}$，
所以，a²+b²的取值范围是：[0，$\frac{π^2}{4}$）．
故答案为：C．

点评本题主要考查了函数零点的判定，涉及三角函数的诱导公式，辅助角公式，方程有解条件的转化，以及运用假设的方式分析和解决问题，属于难题．