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中考模拟压轴系列 2023年河北省中考适应性模拟检测(精练一)数学试卷答案

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4．已知直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）当α=$\frac{π}{4}$时，求直线L与圆C交点的中点坐标；
（2）证明：直线L与圆C相交，并求最短弦的长度．

分析①利用y=cosx的对称中心为：（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈z），可得函数f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1的一个对称中心为（-$\frac{5π}{12}$，0）；
②利用图象变换，可得函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于x=0对称；
③根据命题的否定的写法，可知正确；
④如α=390°，β=30°，显然α＞β，但是sinα=sinβ．

解答解：①∵y=cosx的对称中心为：（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈z）
∴2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$（k∈z）
当k=-1时，x=-$\frac{5π}{12}$
∴函数f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1的一个对称中心（-$\frac{5π}{12}$，0），故正确．
②函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于x=0对称，正确；
③命题“?x＞0，x²+2x-3＞0”的否定是“?x≤0，x²+2x-3≤0”，根据命题的否定的写法，可知正确；
④若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＜sinβ．显然不正确如α=390°，β=30°，显然α＞β，但是sinα=sinβ
故选：D．

点评本题考查余弦函数的对称性，以及余弦函数的图象、命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，本题为中档题．