天一大联考·皖豫名校联盟体2023届高中毕业班第三次考试数学试题答案 (更新中)

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试题答案

天一大联考·皖豫名校联盟体2023届高中毕业班第三次考试数学试卷答案

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4.已知函数f(x)=$\sqrt{(acosx-1)^{2}+si{n}^{2}x}$
(1)当a=2时,求f(x)的值域;
(2)当且仅当x=2kπ,k∈Z时,f(x)取最小值,求正数a的取值范围;
(3)是否存在正数a,使得对于定义域内的任意x,$\frac{f(x)}{a-cosx}$为定值?若存在,求a的值;若不存在,说明理由.

分析先构造函数f(x)=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$,再根据单调性解a≥[$\frac{x}{x-1}$]max

解答解:∵a≥$\frac{x}{x-1}$对于x∈[2,3]恒成立,
∴a≥[$\frac{x}{x-1}$]max
记f(x)=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$,
显然,f(x)为[2,3]上的减函数,
所以,f(x)max=f(2)=2,
因此,实数a的取值范围为a≥2,
故答案为:[2,+∞).

点评本题主要考查了函数的恒成立问题,涉及函数的单调性和最值,属于基础题题.

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