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2023年陕西省初中学业水平考试六B数学试卷答案
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12.在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,$\sqrt{3}$)且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-$\frac{π}{3}$),直线l与曲线C相交于A,B两点;
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若$|AB|=\sqrt{13}$,求直线l的倾斜角α的值.
分析令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$),则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,所以f(x)=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1,从而求函数的值域.
解答解:令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$),
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,t2=1+2sinxcosx,
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,
∴f(x)=sinxcosx+sinx+cosx
=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1,
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,
∴-1≤(t+1)2-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$;
即函数f(x)=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[-1,$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$].
故答案为[-1,$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$].
点评本题考查了换元法与配方法求函数的值域,属于基础题.
2023年陕西省初中学业水平考试六B数学