武汉市部分重点中学2022-2023学年度高二年级下学期期中联考数学试题答案 (更新中)

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试题答案

武汉市部分重点中学2022-2023学年度高二年级下学期期中联考数学试卷答案

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13.设数列的通项公式是an=$\frac{n-t(t-1)}{n-{t}^{2}}$,若a3最大,a4最小,则实数t的取值范围为(  )

A.($\sqrt{3}$,2)B.(1,2)C.(-2,-$\sqrt{3}$)∪($\sqrt{3}$,2)D.(-2,-$\sqrt{3}$)

分析(1)由于上顶点A到右焦点F2的距离为$\sqrt{3}$,椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$,可得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解出即可得出;
(2)设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x,M(x1,y1),N(x2,y2).与椭圆方程联立化为(m2+3)y2+2$\sqrt{2}$my-1=0,利用根与系数的关系可得:|y1-y2|=$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$.可得${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$,另一个方面:${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r(|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|)$=2ar=2$\sqrt{3}$r(r为△MF1N的内切圆的半径),即可用m表示r,再利用基本不等式的性质即可得出.

解答解:(1)∵上顶点A到右焦点F2的距离为$\sqrt{3}$,椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$,∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得a=$\sqrt{3}$,b=1,c=$\sqrt{2}$,
∴椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1.
(2)设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x,M(x1,y1),N(x2,y2).
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+\sqrt{2}=x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$,化为(m2+3)y2+2$\sqrt{2}$my-1=0,
∴y1+y2=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$,y1y2=$\frac{-1}{{m}^{2}+3}$.
∴|y1-y2|=$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$.
∴${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2c×$$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$,
另一个方面:${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r(|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|)$=2ar=2$\sqrt{3}$r(r为△MF1N的内切圆的半径).
∴2$\sqrt{3}$r=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$,
∴r=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}$,∴r2=$\frac{2({m}^{2}+1)}{({m}^{2}+3)^{2}}$=$\frac{2}{{m}^{2}+1+\frac{4}{{m}^{2}+1}+4}$≤$\frac{2}{2\sqrt{4}+4}$=$\frac{1}{4}$,当且仅当m2=1,即m=±1时取等号.
∴直线l的方程为:y=$±(x-\sqrt{2})$.
∴直线l的倾斜角为:45°或135°.

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积的不同表示方法、三角形内切圆的面积、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

武汉市部分重点中学2022-2023学年度高二年级下学期期中联考数学
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