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山西省2022-2023学年高一下学期期中联合考试（23-411A）数学试卷答案

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13．椭圆C₁的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的顶点，直x+$\sqrt{2}$y=0与椭圆C₁交于A、B两点，且点A的坐标为（-$\sqrt{2}$，1），点P是椭圆C₁上异于点A，B的任意一点．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标．

分析（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）令y=$\frac{1}{x}$，得到f（x²）=f（x）-f（$\frac{1}{x}$），而f（$\frac{1}{x}$）=f（1）-f（x）=-f（x），问题得以证明．
（3）令x=16，y=4，求出f（16）=2，根据函数的单调性得到不等式组，解得即可．

解答解：（1）令x=y=1，由f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
可得f（1）=f（1）-f（1），
即有f（1）=0；
（2）令y=$\frac{1}{x}$，
∴f（x²）=f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=f（x）-[f（1）-f（x）]=f（x）+f（x）=2f（x），
∴f（x²）=2f（x）（x＞0）；
（3）令x=16，y=4，
∴f（4）=f（16）-f（4），
∴f（16）=2f（4）=2，
∵f（x²+$\frac{8}{3}$x）-f（$\frac{1}{3}$）＜2，
∴f（3x²+8x）＜f（16），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+8x＞0}\\{3{x}^{2}+8x＜16}\end{array}\right.$，
解得：-4＜x＜-$\frac{8}{3}$，或0＜x＜$\frac{4}{3}$，
∴不等式得解集（-4，-$\frac{8}{3}$）∪（0，$\frac{4}{3}$）．

点评本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．结合函数的单调性是解决本题的关键．