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2023年河北大联考高二年级下学期期中考试（204B·HEB）数学试卷答案

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3．设S_n是公比q（q＞0），首项为1的等比数列前n项和，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$．

分析（1）数列{a_n}为单调递增数列，作差证明即可；
（2）易知$\frac{1}{3}$≤a_n，再利用放缩法证明a_n＜1即可．

解答解：（1）数列{a_n}为单调递增数列，证明如下，
∵a_n+1=a_n+（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²，
∴a_n+1-a_n=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²＞0，
∴数列{a_n}为单调递增数列；
（2）证明：∵数列{a_n}为单调递增数列，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤a_n，
①a₁=$\frac{1}{3}$＜1，
②a₂=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$＜1，
③a₃=$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{81}$=$\frac{40}{81}$＜1，
④假设a_n＜1，
则a_n+1=a₁+$\frac{{（a}_{1}）^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{（{a}_{2}）^{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{（{a}_{n-1}）^{2}}{（n-1）^{2}}$+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$
=a₁+$\frac{1}{9}$+$\frac{4}{81}$+…+$\frac{（{a}_{n-1}）^{2}}{（n-1）^{2}}$+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$
＜$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{4}{81}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜$\frac{40}{81}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{（n-2）（n-1）}$+$\frac{1}{n（n-1）}$
＜$\frac{40}{81}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$＜1；
故$\frac{1}{3}$≤a_n＜1．

点评本题考查了数列的单调性的判断与证明，同时考查了放缩法与裂项求和法的应用．