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[湛江二模]广东省2023年湛江市普通高考第二次模拟测试(23-379C)数学试卷答案

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7．求下列函数的单调区间．
（1）y=cos4x；
（2）y=3sinx-cos²x．

分析（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数单调性的定义和性质进行证明即可．

解答解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，$f（x）=\frac{{a（{a^x}+1）}}{{2（{{a^x}-1}）}}$，
∴$f（-x）=\frac{{a（{a^{-x}}+1）}}{{2（{a^{-x}}-1）}}=\frac{{a（1+{a^x}）}}{{2（1-{a^x}）}}=-f（x）$，所以f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{a（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）}}{{（{a^{x_1}}-1）（{a^{x_2}}-1）}}$，
∵a＞1，∴${a^{x_1}}＜{a^{x_2}}$，若x∈（0，+∞），${a^{x_1}}-1＞0$，${a^{x_2}}-1＞0$，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数．

点评本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．