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2022-2023学年陕西省八年级期中教学质量检测(23-CZ162b)数学试卷答案

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12．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=$\frac{π}{4}$与曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=（t-2）^{2}}\end{array}\right.$（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

分析原式可化为n（n²-1）（n²-4）=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）=120•${C}_{n+2}^{5}$，命题得证．

解答证明：∵n⁵-5n³+4n=n（n⁴-5n²+4）
=n（n²-1）（n²-4）
=n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）
=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）
=${A}_{n+2}^{5}$
=${A}_{5}^{5}$•${C}_{n+2}^{5}$
=120•${C}_{n+2}^{5}$，
因为n＞2且n∈Z，所以${C}_{n+2}^{5}$为整数，
故n⁵-5n³+4n能被120整除．

点评本题主要考查了运用排列数和组合公式证明整数问题，涉及多项式的因式分解和运用综合法证明问题，属于中档题．