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2023年4月玉林市高三年级教学质量检测数学试卷答案

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10．已知α，β是方程2x²+2ax+b=0的两根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a，b∈R，则$\frac{{5{a^2}+4ab+{b^2}}}{{2{a^2}+ab}}$的范围[2，$\frac{5}{2}$]．

分析设△MF₁F₂的内切圆的半径等于r，由圆的周长求得r的值，由椭圆的定义可得：|MF₁|+|MF₂|=2a，然后利用△MF₁F₂的面积相等列式求得a²．

解答解：设△MF₁F₂的内切圆的半径等于r，则由题意可得：2πr=3π，∴r=$\frac{3}{2}$．
由椭圆的定义可得：|MF₁|+|MF₂|=2a，
又c²=a²-b²=a²-16，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-16}$，
∵满足条件的点M恰好有2个，∴M是椭圆的短轴顶点，即|y_M|=4，
△MF₁F₂的面积等于$\frac{1}{2}$2c•|y_M|=4$\sqrt{{a}^{2}-16}$．
又△MF₁F₂的面积等于$\frac{1}{2}$（|MF₁|+|MF₂|+2c）r=（a+c）r=$\frac{3}{2}（a+\sqrt{{a}^{2}-16}）$．
由$\frac{3}{2}（a+\sqrt{{a}^{2}-16}）$=4$\sqrt{{a}^{2}-16}$．
解得：a²=25．
故答案为：25．

点评本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单性质的应用，利用等积法是解题的关键，是中档题．