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[邯郸二模]河北省邯郸市2023届高三年级第二次模拟试题(4月)数学试卷答案

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19．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

分析三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．

解答解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且AD=$\sqrt{3}$，
三棱柱中，底面边长为1，1，$\sqrt{3}$，外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}$=1
∴球的半径为r=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
四面体ABCD外接球表面积为：4π×$\frac{7}{4}$=7π．
故选：B．

点评本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．