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2023衡水金卷先享题压轴卷 新教材B(一)数学试卷答案

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19．已知全集U={2，3，5}，集合A={2，|a-5|}，∁_UA={5}．求a的值．

分析（1）化简得f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），得到周期和最小值，令2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x的取值集合；
（2）由f（α）=2及α的范围解出α．

解答解：（1）f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）的最小值是-2，
令2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的取最小值时x的取值集合为{x|x=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}．
（2）∵f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即α=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∵α∈[$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴α=$\frac{π}{6}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．