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云南省2023届3+3+3高考备考诊断性联考卷(二)数学试卷答案

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19．下列说法正确的个数有（　　）个．
（1）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；
（2）“如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β”的逆否命题为真命题；
（3）“若m＞2，则方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{2-m}$=1表示双曲线”的否命题为真命题；
（4）“a=1”是“直线l₁：ax+2y=0与直线l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．

分析（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的单调性求出它的单调递增区间；
（2）根据方程f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，求出A的值，再根据△ABC的面积以及余弦定理求出a的值．

解答解：（1）由题意得f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；…（3分）
因为x∈[0，$\frac{3π}{2}$]，所以取$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$或$\frac{7π}{6}$≤x≤$\frac{3π}{2}$，
所以函数f（x）在[0，$\frac{3π}{2}$]上的单调递增区间为
[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]； …（5分）
（2）由f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
得-sin（2A+$\frac{π}{6}$）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
化简得cos2A=-$\frac{1}{2}$；…（6分）
又0＜A＜$\frac{π}{2}$，所以A=$\frac{π}{3}$；
由题意知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
解得bc=8；…（8分）
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-2bc（1+cosA）
=49-2×8×（1+$\frac{1}{2}$）
=25；
故所求a的值为5．…（10分）

点评本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．