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2023年赤峰市高三年级模拟考试试题(2023.04)数学试卷答案

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8．直线l过点M（2，1），且与椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$交于A，B两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

分析（1）配方法化简f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，从而分类讨论以确定函数的解析式；
（2）分类讨论各段上的取值范围，从而求最小值的值．

解答解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
∴g（t）=f（t）=t²-4t-4；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，
g（t）=f（2）=-8；
当t+1＜2，即t＜1时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，
∴g（t）=f（t+1）=t²-2t-7；
从而g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-7（t＜1）}\\{-8（1≤t≤2）}\\{{t}^{2}-4t-4（t＞2）}\end{array}\right.$；
（2）当t＜1时，t²-2t-7＞-8，
当t＞2时，t²-4t-4＞-8；
故g（t）的最小值为-8．

点评本题考查了配方法的应用及分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．