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山西省2022-2023学年度八年级下学期期中综合评估（6LR）数学试卷答案

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11．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，已知f（4）=5．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）解不等式f（m-2）≤2．

分析由已知条件利用累加法求出a_n=2n²-2n+98，得到$\frac{{a}_{n}}{n}$，然后利用基本不等式求得数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$的最小项．

解答解：∵数列{a_n}中，a₂=102，a_n+1-a_n=4n，
∴a_n-a_n-1=4（n-1），
…
a₄-a₃=4×3，
a₃-a₂=4×2，
以上等式相加，得
a_n-a₂=4×2+4×3+…+4×（n-1）
=4（2+3+…+n-1）
=2（n+1）（n-2）．
∴a_n=2n²-2n+98．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2n+$\frac{98}{n}$-2≥2$\sqrt{2n•\frac{98}{n}}$-2=26，
当且仅当$\frac{98}{n}$=2n，即n=7时，等式成立．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的最小项是第7项．
故选：B．

点评本题考查数列的最小项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和均值不等式的合理运用．