衡水金卷先享题信息卷2023答案 辽宁版四数学试题答案 (更新中)

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试题答案

衡水金卷先享题信息卷2023答案 辽宁版四数学试卷答案

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9.将下列各代数式分解因式:
(1)2a2-4a+2;
(2)mx2-6mx-7m;
(3)25x2-5x-12;
(4)x2+4x-1.

分析(Ⅰ)方法一、过点P作圆的切线,求得一条切线为x=1,由OP⊥AB,运用两直线垂直的条件:斜率之积为-1,可得AB的斜率,进而得到直线AB的方程;
方法二、求得以OP为直径的圆的方程,联立已知圆的方程,相减即可得到所求直线AB的方程;
(Ⅱ)①求得椭圆的右焦点和上顶点,即可得到a,b,进而得到椭圆方程;
②设M(x1,y1),N(x2,y2),把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$,由向量的数量积的坐标表示,即可得出m与k的关系,再由直线恒过定点的求法,从而得出答案.

解答解:(Ⅰ)方法一:过点P作圆的切线,
由题意,其中一条切线方程为:x=1,∴A(1,0),
由题意得,OP⊥AB,∵${k_{OP}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,∴${k_{AB}}=-\sqrt{3}$,
所以直线AB的方程为:$y=-\sqrt{3}(x-1)$,
即$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$;
方法二:以OP为直径的圆的方程为:$x(x-1)+y(y-\frac{{\sqrt{3}}}{3})=0$,
即${x^2}+{y^2}-x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y=0$,联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y=0}\\{{x^2}+{y^2}-1=0}\end{array}}\right.$,
两式相减,得到直线AB的方程为:$x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}y-1=0$,
即$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$;
(Ⅱ)①令$y=0,x=1;x=0,y=\sqrt{3}$,
∴右焦点为F(1,0),上顶点为$(0,\sqrt{3})$,
即$c=1,b=\sqrt{3}∴a=2$,
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1;
②设M(x1,y1),N(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,化为3+4k2>m2
∴x1+x2=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4({m}^{2}-3)}{3+4{k}^{2}}$.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=$\frac{3({m}^{2}-4{k}^{2})}{3+4{k}^{2}}$.
由$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$,又椭圆的右顶点D(2,0)
∴$\overrightarrow{DM}=({x_1}-2,{y_1}-2),\overrightarrow{DN}=({x_2}-2,{y_2}-2)$
∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=({x_1}-2,{y_1})•({x_2}-2,{y_2})=0$,
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
∴$\frac{3({m}^{2}-4{k}^{2})}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4({m}^{2}-3)}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{16mk}{3+4{k}^{2}}$+4=0.
化为7m2+16mk+4k2=0,
解得m1=-2k,m2=-$\frac{2k}{7}$,且满足3+4k2-m2>0.
当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;
当m=-$\frac{2k}{7}$时,l:y=k(x-$\frac{2}{7}$),直线过定点($\frac{2}{7}$,0).
综上可知,直线l过定点,定点坐标为($\frac{2}{7}$,0).

点评本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

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