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1号卷·2023年A10联盟2021级高二下学期4月期中联考数学试卷答案

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12．已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（-2，0），一定点为P（-8，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过P的直线与椭圆交于P₁、P₂两点，设直线P₁F、P₂F的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．
（3）求△P₁P₂F面积的最大值．

分析利用3（b²+c²）=3a²+2bc，求出cosA=$\frac{1}{3}$，可得sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，根据△ABC的面积S=5$\sqrt{2}$，求出bc，利用基本不等式求出边长a的最小值．

解答解：∵3（b²+c²）=3a²+2bc，
∴3•2bc•cosA=2bc，
∴cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵△ABC的面积S=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=5$\sqrt{2}$，
∴bc=15，
∴3a²=3（b²+c²）-30≥6bc-30=60，
∴a²≥20，
∴a≥2$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评本题考查余弦定理，三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．