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安徽鼎尖教育2023届高二4月期中考试数学试卷答案

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15．已知a，b∈R，那么$\frac{a+bi}{b-ai}$+$\frac{a-bi}{b+ai}$=0．

分析（1）由条件利用两角和差的余弦公式求出tanA=$\sqrt{3}$，可得A=$\frac{π}{3}$．
（2）由条件求得b=2c，利用余弦定理求得a=$\sqrt{3}$c、再利用勾股定理求得△ABC为直角三角形，从而求得sinC的值．

解答解：（1）△ABC中，由$cos（\frac{π}{3}-A）=2cosA$，得$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=2cosA，即$\sqrt{3}$sinA=3cosA，
∴tanA=$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{c^2}⇒b=2c$，
由余弦定理：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA⇒a=\sqrt{3}c$，∴a²+c²=b²，△ABC为直角三角形，
易得sinC=$\frac{c}{b}$=$\frac{1}{2}$．

点评本题主要考查两角和差的余弦公式，余弦定理、勾股定理，属于基础题．