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衡水金卷先享题信息卷2023答案 新教材B五数学试卷答案

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20．设F₁、F₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的两个焦点，P为椭圆上的一点．当△F₁PF₂的面积为1，$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$的值为0．

分析（1）由函数的奇偶性和整体思想可得函数解析式；
（2）原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-1＜-{a^{-x+1}}+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\-1＜{a^{x-1}}-1＜4\end{array}\right.$，结合指数函数单调性对a分类讨论可得．

解答解：（1）由题意可得奇函数f（x）满足当x＜0时，$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{a^x}$=1-a^-x，
则当x＞0时，-x＜0，故f（x）=-f（-x）=-（1-a^x）=a^-x-1，
又由奇函数的性质可得f（0）=0，
∴所求的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}-1，x≥0\\-{a^{-x}}+1，x＜0.\end{array}\right.$；
（2）原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-1＜-{a^{-x+1}}+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\-1＜{a^{x-1}}-1＜4\end{array}\right.$
化简可得$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-3＜{a^{-x+1}}＜2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\0＜{a^{x-1}}＜5.\end{array}\right.$
当a＞1时，有$\left\{\begin{array}{l}x＜1\\x＞1-{log_a}2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\x＜1+{log_a}5\end{array}\right.$，
∵此时log_a2＞0，log_a5＞0，
∴不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R．
综上所述，当a＞1时，不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）；
当0＜a＜1时，不等式的解集为R．

点评本题考查指数对数不等式的解法，涉及分类讨论思想和函数的单调性奇偶性，属中档题．