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天一大联考2022-2023学年高三阶段性测试（六）数学试卷答案

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16．已知a＞0且a≠1，f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$
（1）判断函数f（x）是否有零点，若有求出零点；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性并用单调性定义证明．

分析（1）运用数列极限公式$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=0；（2）运用等比数列的求和公式求得S_n，再取极限，即可得到所求值．

解答解：由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n（n+1）}，1≤n≤3}\\{\frac{1}{{2}^{n-1}}．n≥4}\end{array}\right.$，
（1）$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=0；
（2）S_n为前n项的和，
即有S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{3}{4}$+$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=1-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=1-0=1．

点评本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列极限的求法，考查运算能力，属于中档题．