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安徽省2023年九年级检测二数学试卷答案

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15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点O为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l交椭圆C于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$，又点D关于坐标原点O的对称点为点E，试问点A，B，D，E四点是否共圆？若是，求出该圆的标准方程；若不是，试说明理由．

分析直接根据一元二次方程根与系数的关系推出a=1，b=-2，c=1，d=-2，即可证明等式：（a+b+c+d）²=abcd．

解答证明：记S=a+b+c+d，
∵c，d是方程x²+ax+b=0的解，
∴c+d=-a----①，cd=b----②；
又∵a，b是方程x²+cx+d=0的解，
∴a+b=-c----③，ab=d----④，
由等式①和③知：a+c+d=a+b+c=0，
于是S=b=d，
因此，等式②变为：cd=d，等式④变为：ab=b，
∵a，b，c，d为非零实数，∴a=c=1，
将a=c=1代回等式①，③得d=-2，b=-2，
即a=1，b=-2，c=1，d=-2，所以S=-2，
故（a+b+c+d）²=4，
且abcd=1×（-2）×1×（-2）=4，
因此，（a+b+c+d）²=abcd．

点评本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，以及运用综合法证明等式，属于中档题．