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金考卷2023年普通高等学校招生全国统一考试 新高考卷 押题卷(五)数学试卷答案

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11．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
（1）求f（1）的值；
（2）证明f（x²）=2f（x）（x＞0）；
（3）若f（4）=1，解关于x不等式f（x²+$\frac{8}{3}$x）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．

分析利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），利用二倍角公式化简函数g（x）的解析式为$\sqrt{2}$sin2x，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．

解答解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），函数g（x）=2$\sqrt{2}$sinxcosx=$\sqrt{2}$sin2x，
∴由题意可得：$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{2}$-2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos（π-2x）=$\sqrt{2}$cos（2x-π）．
∴φ+$\frac{π}{4}$=-π+kπ+$\frac{π}{2}$，
∴φ=kπ-$\frac{3π}{4}$，由|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{4}$．
故选：D．

点评本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．