世纪金榜 2023年高考密破考情卷 新高考版(五)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

世纪金榜 2023年高考密破考情卷 新高考版(五)数学试卷答案

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2.在平面直角坐标系xOy内,直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{3}{5}t\\ y=\frac{4}{5}\end{array}\right.(t$为参数).以O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与x轴交于点M,点N在曲线C上,求M,N两点间距离|MN|的最小值.

分析(1)运用同角的平方关系,化为cosx的式子,由余弦函数的值域,结合二次函数的值域求法,即可得到所求值域;
(2)化f(x)为cosx的式子,讨论a的范围,若a=1,0<a<1,1<a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,a>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时,注意讨论对称轴和区间的关系,结合条件,即可得到所求a的范围;
(3)假设存在正数a,使得对于定义域内的任意x,$\frac{f(x)}{a-cosx}$为定值t,即有f(x)=$\sqrt{({a}^{2}-1)co{s}^{2}x-2acosx+2}$=t(a-cosx),两边平方,运用恒等式有对应项系数相等,解方程可得a,t,即可判断是否存在.

解答解:(1)f(x)=$\sqrt{(2cosx-1)^{2}+si{n}^{2}x}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}x-4cosx+1+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{3co{s}^{2}x-4cosx+2}$
=$\sqrt{3(cosx-\frac{2}{3})^{2}+\frac{2}{3}}$,
由cosx∈[-1,1],$\frac{2}{3}$∈[-1,1],
则cosx=$\frac{2}{3}$时,取得最小值,且为$\frac{\sqrt{6}}{3}$;
cosx=-1时,取得最大值,且为3.
则f(x)的值域为[$\frac{\sqrt{6}}{3}$,3];
(2)f(x)=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}x-2acosx+1+si{n}^{2}x}$
=$\sqrt{({a}^{2}-1)co{s}^{2}x-2acosx+2}$,
若a=1,即有f(x)=$\sqrt{2-2cosx}$,由-1≤cosx≤1,
可得cosx=1,即x=2kπ,k∈Z,取得最小值0;
若0<a<1时,a2-1<0,f(x)=$\sqrt{({a}^{2}-1)(cosx-\frac{a}{{a}^{2}-1})^{2}+2-\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}}$,
设t=cosx(-1≤t≤1),由g(t)=(a2-1)(t-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$)2+2-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$,
由a2-1<0,可得g(t)的最小值在t=-1或t=1取得,
由1-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$>$\frac{a}{{a}^{2}-1}$-(-1),即有t=1,即x=2kπ,k∈Z,取得最小值;
若a>1时,由a2-1>0,g(t)=(a2-1)(t-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$)2+2-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$,
当区间[-1,1]为g(t)的减区间,即1≤$\frac{a}{{a}^{2}-1}$,
解得1<a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$;
当a>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时,区间[-1,1]为先减后增,t=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$时,取得最小值,故不成立.
综上可得,a的范围为0<a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$;
(3)假设存在正数a,使得对于定义域内的任意x,$\frac{f(x)}{a-cosx}$为定值t,
即有f(x)=$\sqrt{({a}^{2}-1)co{s}^{2}x-2acosx+2}$=t(a-cosx),
即有(a2-1)cos2x-2acosx+2=t2cos2x-2t2acosx+t2a2
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1={t}^{2}}\\{2a=2a{t}^{2}}\\{2={t}^{2}{a}^{2}}\end{array}\right.$,解得t2=1,a2=2,
由于a>0,则a=$\sqrt{2}$,t=1.
故存在正数a=$\sqrt{2}$,使得对于定义域内的任意x,$\frac{f(x)}{a-cosx}$为定值1.

点评本题考查可化为二次函数的值域和最值的求法,注意运用换元法和分类讨论的思想方法,考查存在性问题的解法,注意运用恒等式知识,考查运算能力,属于中档题.

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