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XCS2023年河南省第一次中招模拟考试试卷数学试卷答案

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8．在△ABC中，若$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，则$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=3．

分析利用向量共线定理可得：n+2m=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答解：∵$\overrightarrowa$∥$\overrightarrowb$，
∴1-n-2m=0，
化为n+2m=1，
又m＞0，n＞0，
则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（n+2m）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当n=$\sqrt{2}$m=$\sqrt{2}$-1时取等号．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．