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【大连一模】2023年大连市第一次模拟考试数学试卷答案

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20．设圆C：x²+y²=5上一点P（a，$\sqrt{3a-5}$），则a=2．

分析设出A，B的坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式代入即可求得直线l的斜率．

解答解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在双曲线上，∴${{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=1$，${{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=1$，
两式作差可得：${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$，即（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵线段AB的中点为C（2，1），∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{4}{2}=2$．
即直线l的斜率为2．
故选：C．

点评本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“点差法”求直线的斜率，涉及中点弦问题，常采用这种方法，是中档题．