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尚文原创2023届云南名校高考适应性月考试卷(七)数学试卷答案

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6．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+3}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）证明：{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$a_na_n+1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n＜$\frac{1}{2}$．

分析作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{{x}^{2}-2x+1（x＞0）}\end{array}\right.$的图象，从而由数形结合求解．

解答解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{{x}^{2}-2x+1（x＞0）}\end{array}\right.$的图象如下，
，
g（x）=f（x）-k有3个零点可化为f（x）与y=k有三个不同的交点，
结合图象可知，
0＜k＜1；
故选：C．

点评本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．