[长春三模]长春市2023届高三质量监测(三)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

[长春三模]长春市2023届高三质量监测(三)数学试卷答案

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19.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x},x>1}\\{{2}^{|x|},x≤1}\end{array}\right.$,若关于x的方程f(x)=k有3个不同的实根,则实数k的取值范围为(1,2].

分析(1)△=36a2≥0,当a=0时,不等式f(x)≤0化为x2≤0,即可得出解集;当a≠0时,△>0,不等式化为(x-2a)(x-8a)≤0,对a分类讨论即可得出.
(2)由于a>0,且当x∈(0,+∞)时,不等式$\frac{f(x)}{x}$>-2恒成立,可得$(\frac{f(x)}{x})_{min}$>-2.$\frac{f(x)}{x}$=x+$\frac{16{a}^{2}}{x}$-10a,利用基本不等式的性质即可得出最小值.

解答解:(1)△=100a2-64a2=36a2≥0,
当a=0时,不等式f(x)≤0化为x2≤0,其解集为{0};
当a≠0时,△>0,不等式化为(x-2a)(x-8a)≤0,
当a>0时,不等式的解集为{x|2a<x<8a};
当a<0时,不等式的解集为{x|8a<x<2a}.
综上可得:当a=0时,不等式的解集为{0};
当a>0时,不等式的解集为{x|2a<x<8a};
当a<0时,不等式的解集为{x|8a<x<2a}.
(2)∵a>0,且当x∈(0,+∞)时,不等式$\frac{f(x)}{x}$>-2恒成立,
∴$(\frac{f(x)}{x})_{min}$>-2.
∵a>0,且当x∈(0,+∞)时,$\frac{f(x)}{x}$=x+$\frac{16{a}^{2}}{x}$-10a≥2$\sqrt{x×\frac{16{a}^{2}}{x}}$-10a=-2a,当且仅当x=4a时取等号.
∴-2a>-2,又a>0,
解得0<a<1.
∴a的取值范围是(0,1).

点评本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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