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2023届金学导航·模拟卷(九)·D区专用数学试卷答案

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1．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$（b＞0）
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）如果对任意的x＞0，都有f（x）≥f（1）=2成立，求|[f（x）]³|-|f（x³）|，（x≠0）的最小值；
（3）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|$＞\frac{1}{\sqrt{a}}$（i=1，2，3），证明：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}{b}$．

分析运用向量的数量积求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$，由题意画出图形，把$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$都用含有$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$的式子表示，运用条件$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=16，展开后化为关于λ的方程，解方程即可得到所求值．

解答解：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos$\frac{2π}{3}$
=8•6•（-$\frac{1}{2}$）=-24，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{DC}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$²+（1+$\frac{1}{3λ}$）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}$•36+$\frac{1}{λ}$•64+（-24）•（1+$\frac{1}{3λ}$）=16，
解得λ=2，
故答案为：2．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．