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2023年湖北云学新高考联盟学校高二年级4月期中联考数学试卷答案

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13．已知已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，若$\overrightarrow{AM}$=e$\overrightarrow{AB}$，则该椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

分析由已知推导出AD⊥CD，BD⊥CD，从而CD⊥平面ABD，进而得到平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC；再由勾股定理得AB⊥AC，AB⊥AD，从而AD⊥平面ABC，进而得到平面ABD⊥平面ABC．由此能求出在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数．

解答解：如图，∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，
现将△ABD沿BD折起后使AC=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+CD²=BC²，AD²+CD²=AC²，
∴AD⊥CD，BD⊥CD，又AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵CD?平面BDC，CD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC，
∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AB⊥AD，AD∩AC=A，∴AD⊥平面ABC，
∵AD?平面ABD，AD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面ABC，平面ADC⊥平面ABC．
∴在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为4个．
故选：C．

点评本题考查在四面体的四个面中两两构成直二面角的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意面面垂直的判定定理的合理运用．