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全国名校大联考2022~2023高三第八次联考试卷数学试卷答案

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18．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B
④若函数$f（x）=aln（{x+2}）+\frac{x}{{{x^2}+1}}（{x＞-2，a∈R}）$有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题为（　　）

分析（1）求出直线和圆的方程，求出圆心到直线的距离，与圆半径比较后，可得答案；
（2）求出直线l′方程，联立椭圆方程，求出A，B坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．

解答解：（1）∵直线l的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=2\sqrt{2}$，
即ρsinθ+ρcosθ=4，
故直线l的直角坐标方程为：x+y-4=0，
∵圆C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\y=-2+2sinθ\end{array}\right.（{θ为参数}）$．
∴圆C的普通方程为：x²+（y+2）²=4，
圆心（0，-2）到直线l的距离d=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$＞2，
故直线l与圆C相离；
（2）∵椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$（φ为参数），
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
过C（0，-2）点直线l垂直的直线l′的方程为：x-y-2=0，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{7}\\y=-\frac{12}{7}\end{array}\right.$，
故|CA|•|CB|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$•$\sqrt{{（\frac{2}{7}）}^{2}+{（\frac{2}{7}）}^{2}}$=$\frac{8}{7}$

点评本题考查的知识点是极坐标与参数方程，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，难度中档．