2023年河南大联考高三年级4月联考(478C-A·HEN)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023年河南大联考高三年级4月联考(478C-A·HEN)数学试卷答案

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12.已知f(x)=2cos(ωx-$\frac{π}{2}$)cos(${ωx+\frac{π}{6}}$)+2sin2ωx-1(ω>0),直线y=$\frac{1}{2}$与f(x)的图象交点之间最短距离为π.
(Ⅰ) 求f(x)的解析式及单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c若有(2a-c)cosB=bcosC,则求角B的大小以及f(A)的取值范围.

分析(1)根据f(x)为定义在R上的奇函数便有f(0)=0,从而可以求出k=0;
(2)先得出f(x)=ax-a-x,根据f(1)>0便可得出a>1,从而判断出f(x)为增函数,从而由原不等式可得x2-x+t>0恒成立,这便有△=1-4t<0,这样便可得出t的取值范围;
(3)由f(1)=$\frac{3}{2}$便可求出a=2,从而可以得到g(x)=(2x-2-x2-2m(2x-2-x)+2,可设t=f(x)=2x-2-x$(t≥\frac{3}{2})$,可令h(t)=(t-m)2+2-m2,该二次函数的对称轴为t=m,讨论m:$m≥\frac{3}{2}$时,t=m时,h(t)取到最小值2-m2=-1,这样便可求出m=$\sqrt{3}$;m$<\frac{3}{2}$时,t=$\frac{3}{2}$时,h(t)取到最小值$\frac{17}{4}-3m=-1$,得到m=$\frac{7}{4}$,不满足m$<\frac{3}{2}$,从而便得到m的值只有一个为$\sqrt{3}$.

解答解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数;
∴f(0)=0;
∴k=0;
(2)f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1);
由f(1)>0得$a-\frac{1}{a}>0$;
∴a>1;
∴ax单调递增,a-x单调递减;
故f(x)在R上单调递增;
∵f(-x)=-f(x);
∴不等式化为f(x2+x)>f(2x-t);
∴x2+x>2x-t;
∴x2-x+t>0恒成立;
∴△=1-4t<0;
∴t的取值范围为$\{t|t>\frac{1}{4}\}$;
(3)∵f(1)=$\frac{3}{2}$,∴$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$;
即2a2-3a-2=0;
∴a=2,或a=$-\frac{1}{2}$(舍去);
∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x2-2m(2x-2-x)+2;
令t=f(x)=2x-2-x
由(2)可知f(x)=2x-2-x为增函数;
∵x≥1,∴t≥f(1)=$\frac{3}{2}$;
令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2(t≥$\frac{3}{2}$)
①若m≥$\frac{3}{2}$,当t=m时,h(t)min=2-m2=-1,∴m=$±\sqrt{3}$,∴m=$\sqrt{3}$;
②若m<$\frac{3}{2}$,当t=$\frac{3}{2}$时,h(t)min=$\frac{17}{4}$-3m=-1,解得m=$\frac{7}{4}>\frac{3}{2}$,舍去;
综上可知m=$\sqrt{3}$.

点评考查奇函数的定义,奇函数f(x)在原点有定义时,f(0)=0,指数函数的单调性,以及增函数的定义,一元二次不等式恒成立时,判别式△的取值情况,二次函数的单调性,根据单调性及取得顶点情况求二次函数的最值.

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