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炎德英才大联考 长沙市一中2023届高三月考试卷(八)数学试卷答案

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13．下面不等式不成立的是（　　）

分析（1）利用PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，c，可得a²-c²=1，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线L的方程为y=x+b，与椭圆方程联立消元得3x²+4bx+2b²-2=0；再由韦达定理及两点间的距离公式求|AB|的长度，再求点O到直线AB的距离，从而写出△AOB的面积S，利用基本不等式求最值及最值点．从而得到直线l的方程．

解答解：（1）∵PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，2c=$\sqrt{\frac{18}{4}-\frac{2}{4}}$=2，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）设直线L的方程为y=x+b，
则与$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1联立消y可得3x²+4bx+2b²-2=0，
△=（4b）²-4×3×（2b²-2）＞0，
解得-$\sqrt{3}$＜b＜$\sqrt{3}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理可得，x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{b}^{2}-2}{3}$；
故|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}-4×\frac{2{b}^{2}-2}{3}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{12-4{b}^{2}}$；
点O到直线AB的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
故△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$$\sqrt{12-4{b}^{2}}$×$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{（3-{b}^{2}）{b}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3}•\frac{3-{b}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（当且仅当3-b²=b²，即b=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，等号成立）；
故此时直线L的方程为：y=x±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评本题考查了圆锥曲线的求法及直线与圆锥曲线的交点及形成的图象的面积问题，属于中档题．