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2023高考冲刺试卷 新高考(二)数学试卷答案

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18．已知$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），其中α，β为锐角．
（1）求证：tanβ=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$；
（2）求tanβ的最大值．

分析由已知得∠ABC+∠ACB=60°，∠PBC+∠CLQ=180°，CQ=BP，从而四边形PBCQ为平行四边形，由此能证明PQ=BC．

解答证明：∵在△ABC中，∠A=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵K、L分别是AB、AC上的点，且BK=CL，
以BK，CL为边向△ABC的形外作正三角形BKP和正三角形CLQ，
∴∠PBC+∠CLQ=180°，CQ=BP，
∴四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ=BC．

点评本题考查线段相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形内角和定理的合理运用．