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［广西一模］2023年广西省高三年级第一次模拟考试数学试卷答案

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14．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ-2=0．
（Ⅰ）写出C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设l与C的交点为P₁，P₂，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

分析法一、以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（-1，-1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（-cosθ，-sinθ），F（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．
法二、运用向量的加法和数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答解法一：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，
可得A（-1，-1），
设OE与Ox的反向延长线成θ角，
即有E（-cosθ，-sinθ），F（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），
0≤θ＜2π，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（1-cosθ，1-sinθ）•（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cosθcos（θ+$\frac{π}{3}$）+sinθsin（θ+$\frac{π}{3}$）-（cos（θ+$\frac{π}{3}$）+sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cos$\frac{π}{3}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$），
当sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=1，即θ=$\frac{23π}{12}$时，取得最小值$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$；
当sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=-1，即θ=$\frac{11π}{12}$时，取得最大值$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．
即有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
法二、$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$）•$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$，
而$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{OF}$|cosθ=$\sqrt{2}$cosθ，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．